الأعــداد الـــعـقــد يـة Les nombres complexes
I- المجموعة ـ الكتابة الجبرية لعدد عقدي ـ العمليات في

1- تعريف : مجموعة الأعداد العقدية و التي تكتب هي مجموعة الأعداد على الشكل z = a + bi حيث a وb عددان حقيقيان و i عدد غير حقيقي بحيث i² = -1
. i حل للمعادلة x² + 1 = 0
2- مصطلحات و رموز
* كل عدد عقدي z يمكن كتابته على الشكل z = a + bi حيث a وb عددان حقيقيان و يسمى الشكل الجبري للعدد z Forme algébrique
* إذا كان z = a + bi حيث فإن :
+ العدد الحقيقي a يسمى الجزء الحقيقي للعدد z (La partie réelle de z) و نكتب: Re(z) = a
+ العدد الحقيقي b يسمى الجزء التخيلي للعدد z (la partie imaginaire de z) و نكتب: Im(z) = b
+ إذا كان a = 0 فإن bi z = يسمى عددا تخيليا صرفا nombre imaginaire pur . مجموعة الأعداد التخيلية الصرفة تكتب :

3- التمثيل الهندسي لعدد عقدي Représentation géométrique d’un nombre complexe
المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
· لكل عدد عقدي z = a +bi حيث a وb عددان حقيقيان نربط النقطة M التي زوج إحداثتيتيها (a ;b) في المعلم
نقول إن : - M صورة العدد العقدي z و نكتب : M(z)
- المتجهة الصورة للعدد العقدي z ، و نكتب :
· لكل نقطة M(x ; y) من المستوى، نربط العدد العقدي z = x + yi .
نقول إن z لحق النقطة M و نكتب ، نقول كذلك إن z لحق المتجهة و نكتب
· إذا كانت A و B نقطتين من المستوى، فإن لحق المتجهة هو و نكتب
4- العمليات على الأعداد العقدية Opérations sur les nombres complexes
جميع قواعد الحساب المتعلقة بعمليتي الجمع و الضرب في تمدد إلى المجموعة مع استعمال i² = -1
الجمع L'addition
z + z’ = ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = (a + a’) + (b +b’ ) i
المقابل L'opposé
- z = - (a + bi ) = - a – bi
الضرب ( الجداء) Le produit
z z’ = (a + bi ) ( a’ + b’i ) = (aa’ – bb’) + ( ab’ + a’b ) i

المقلوب L'inverse

الخارج Le quotient




الــــمتـطابـقـات الـهـامــة
Les identités remarquables



z ² = ( a + bi ) ² = a ² + 2 abi + (bi) ² = a ² + 2 abi - b ²
( z + z’ ) ² = z ² + 2 zz’ + z’ ²
( z - z’ ) ² = z ² - 2 zz’ + z’ ²
z ² - z’ ² = (z – z ’)( z – z’ )
(z + z’ ) 3 = z 3 + 3z2z’ + 3 zz’2 + z’ 3
(z - z’ ) 3 = z 3 - 3z2z’ + 3 zz’2 - z’ 3
z 3 - z’ 3 = ( z - z’)( z2 + zz’ + z’2 )
z 3 + z’ 3 = ( z + z’)( z2 - zz’ + z’2 )
* انعدام عدد عقدي: حيث a و b عددان حقيقيان :
* تساوي عددين عقديين : حيث a وb و x و y أعداد حقيقية:
التأويل الهندسي لمجموع عددين عقديين و لضرب عدد عقدي في عدد حقيقي:
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
· إذا كانت M(z) و M’(z’) ، فإن لحق النقطة S بحيث هو ( الرباعي OMSM’ متوازي الأضلاع)
· إذا كانت M(z) حيث z = a +bi ، a و b عددان حقيقيان، فإن لحق النقطة P بحيث حيث k عدد حقيقي هو kz
زوج إحداثيات النقطة P هو. (ka ; kb) النقطة P هي صورة النقطة M بالتحاكي الذي مركزه O و نسبته k .
· النقطتان M(z) وM’(-z) متماثلتان بالنسبة للنقطة O
· لحق النقطة I منتصف القطعة هو العدد العقدي :
· تكون النقط A وB وC (نقط مختلفة مثنى مثنى) مستقيمية إذا و فقط إذا كان : عددا حقيقيا
( (A وB وC مستقيمية)

تمارين تطبيقية :
1) اكتب على الشكل الجبري كل عدد من الأعداد التالية : و و و
و و
2) المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم . نعتبر النقط و و
أـ أعط لحق كل نقطة من النقط A و B و C ب ـ حدد لحق النقطة J منتصف القطعة . ج ـ حدد لحق النقطة K بحيث يكون الرباعي متوازي الأضلاع



5 - مرافق عدد عقدي Conjugué d'un nombre complexe
أ ـ تعريف : ليكن عددا عقديا بحيث حيث
العدد العقدي يسمى مرافق العدد العقدي، و نرمز له بالرمز . ( )
ب ـ التأويل الهندسي : النقطتان و متماثلتان بالنسبة للمحور الحقيقي ( محور الأفاصيل )
ج ـ نتائج مباشرة :
ليكن عددا عقديا بحيث حيث
لدينا : * * * *

د ـ خاصيات : ليكن و عددين عقديين
· ( z عدد حقيقي ) * ( z عدد تخيلي صرف )
· z عدد حقيقي إذا و فقط إذا كانت النقطة ذات اللحق تنتمي إلى المحور الحقيقي
· z عدد تخيلي صرف إذا و فقط إذا كانت النقطة ذات اللحق تنتمي إلى المحور التخيلي ( المحور )
· * * ; * ; *
تمارين تطبيقية :

1) حدد مرافق كل عدد من الأعداد التالية : و و و
و و و
2) نضع : و حيث
بين أن العدد عدد حقيقي و أن عدد تخيلي صرف.
3) حل في المجموعة المعادلات التالية : 1) 2) 3)
..............................................................................................................................................................................
6- معيار عدد عقدي Module d'un nombre complexe

أ ـ تعريف : ليكن عددا عقديا بحيث حيث
العدد الحقيقي الموجب يسمى معيار العدد العقدي z، و نرمز له بالرمز : )
ب ـ نتائج مباشرة : ليكن عددا عقديا، لدينا : و
ج ـ التأويل الهندسي : ـ لتكن M نقطة لحقها z . معيار العدد العقدي z هو المسافة OM :
ـ لتكن A و B نقطتين لحقاهما على التوالي و ،لدينا :

د ـ خاصيات : لكل عددين عقديين و لدينا :
· * ; و ;
· ; و
تمارين تطبيقية :
1) احسب معيار كل عدد من الأعداد التالية: z1 = 1 – 2i و z2 = – 3i و z3 = (1+ i)(-2 -3i) و z4 = (1 + 2i)8و z5 = و z6 =
2) بين أن :
3) حدد المجموعتين التاليتين : و
.............................................................................................................................................................................
7- عمدة و شكل مثلثي لعدد عقدي غير منعدم Argument et forme trigonométrique d'un complexe non nul

أ ـ تعريف عمدة عدد عقدي غير منعدم
ليكن z عددا عقديا غير منعدم و M النقطة ذات اللحق z. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم
نسمي عمدة العدد العقدي z أحد قياسات ( بالراديان) للزاوية الموجهة و نرمز له بالرمز
و نكتب :
ملحوظة : صفر هو العدد العقدي الوحيد الذي لا يقبل عمدة !!




ب ـ نتائج مباشرة ليكن z عددا عقديا ،
ـــ عمدة عدد حقيقي :
·
· و
ـــ عمدة عدد تخيلي صرف : نضع : بحيث b عدد حقيقي
·
· إذا كان ،فإن و إذا كان ،فإن
ـــ عمدة –z : ـــ عمدة :
ج ـ شكل مثلثي لعدد عقدي غير منعدم
ليكن z عددا عقديا غير منعدم بحيث حيث مع
نضع و .لدينا : إذن : و و منه :
تعريف : الكتابة : حيث تسمى شكلا مثلثيا للعدد العقدي غير المنعدم z
خاصيات : * إذا كان z عددا عقديا غير منعدم بحيث مع ، فإن و
* إذا كان z و z’ عددين عقديين غير منعدمين، فإن :
ملحوظة : و
و
تمارين تطبيقية :
1) اكتب على شكل مثلثي كل عدد من الأعداد التالية :
و و و و و و و و
2) أعط معيار و عمدة كل عدد من الأعداد العقدية التالية :
و و و و
.............................................................................................................................................................................................................................
دـ العمليات و عمدة عدد عقدي غير منعدم
خاصية : لكل عددين عقديين z و z’ غير منعدمين، لدينا :
1) (عمدة جداء عددين عقديين غير منعدمين يساوي مجموع عمدتيهما )
2) (عمدة مقلوب عدد عقدي غير منعدم يساوي مقابل عمدته )
3) (عمدة خارج عددين عقديين غير منعدمين يساوي فرق عمدتيهما )
4) لكل n من
تمرين تطبيقي :
1) أعط شكلا مثلثيا لكل من العددين : و
2) أـ استنتج شكلا مثلثيا لكل عدد من الأعداد التالية : و و
ب ـ استنتج القيمة المظبوطة لكل من و
.............................................................................................................................................................................................................................
نتائج مباشرة : إذا كان و حيث و فإن :
و و
و و
8ـ زاوية متجهتين و عمدة خارج لحقيهما
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم .لتكن و و و نقطا مختلفة مثنى مثنى من المستوى العقدي.
لدينا : و
نتائج : ـــ استقامية ثلاث نقط : النقط A و B و C مستقيمية إذا و فقط إذا كان :
ـــ توازي و تعامد مستقيمين : و

الأعــداد الـــعـقــد يـة الجزء الــثـانــي
I ــ المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد في المجموعة
1) المعادلة حيث
أمثلة :
خاصية : نعتبر في المجموعة المعادلة : حيث
§ إذا كان ، فإن للمعادلة حلان هما : و
§ إذا كان ، فإن للمعادلة حلان هما : و

2) المعادلة حيث وb و c عددان حقيقيان
تعريف و خاصية :
§ كل معادلة على الشكل حيث وb و c عددان حقيقيان حيث هو المجهول مع
تسمى معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد بمعاملات حقيقية
§ العدد يسمى مميز المعادلة : : (E)
§ إذا كان : ، فإن المعدلة (E) تقبل حلين حقيقيين هما : و
§ إذا كان : ، فإن المعدلة (E) تقبل حلا حقيقييا مزدوجا هو :
§ إذا كان : ، فإن المعدلة (E) تقبل حلين عقديين مختلفين و هما مترافقين هما : و
3) تعميل ـــ مجموع و جداء الجذرين
§ إذا كانت المعادلة تقبل حلين و ، فإن :
و لدينا : و
§ إذا كانت المعادلة تقبل حلا وحيدا ، فإن :
تمارين تطبيقية :
1) حل في المجموعة كل معادلة من المعادلات التالية :
: (E1) و : (E2) و : (E3) و : (E4)
2) حل في المجموعة المعادلة :
3) نعتبر في الحدودية :
أـ احسب ب ـ بين أنه توجد حدودية Q(z) معاملاتها حقيقية بحيث :
ج ـ حل في المجموعة المعادلة :
.............................................................................................................................................................................................................................
IIـ الترميز الأسي لعدد عقدي غير منعدم Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul

1ـ تعريف : ليكن z عددا عقديا غير منعدم ،
إذا كان : و ، فإن z يكتب على الشكل : ؛ هذه الكتابة تسمى ترميزا أسيا للعدد العقدي z؛ و لدينا :
أمثلة : و و و و
2 ـ الترميز الأسي و العمليات :
ليكن و حيث و
لدينا : و و و و
تمرين تطبيقي : اكتب على الشكل الأسي كل عدد من الأعداد التالية : و و و و
...........................................................................................................................................................................................................................
3 ـ صيغتا أولر Formules d’EULER : لكل x من لدينا : و
4 ـ صيغة موافر Formule de Moivre : أي :
تمرين تطبيقي :
1) أـ بين أن : و لكل من
ب ـ اكتب على الشكل المثلثي العددين : و
2) أخطط ، استنتج



IIIـ التحويلات الاعتيادية و الأعداد العقدية Les transformations usuelles et les nombres complexes
1) الإزاحة : Translation
لتكن t الإزاحة ذات المتجهة .لتكن M(z) و M’(z’) M’
لدينا :
M
تسمى الكتابة (أو الصيغة) العقدية الإزاحة t ذات المتجهة ، حيث M(z) و M’(z’) مع t(M) = M’
تمرين تطبيقي
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم .نعتبر النقطتين و
1) أعط الكتابة العقدية للإزاحة t التي تحول النقطة A إلى النقطة B
2) لتكن N صورة النقطة . لتكن E النقطة التي صورتها بالإزاحة t
أ ـ حدد لحق كلا من N و E. ب ــ ما طبيعة الرباعي ؟
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) التحاكي Homothétie
ليكن h التحاكي الذي مركزه و نسبته k (حيث k عدد حقيقي) .لتكن M(z) و M’(z’) M’ N’
لدينا :
M N
تسمى الكتابة (أو الصيغة) العقدية للتحاكي
حالة خاصة : (مركز التحاكي هو أصل المعلم) :
الصيغة العقدية للتحاكي الذي مركزه O، أصل المعلم،و نسبته k هي :
تمرين تطبيقي
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم . ليكن h التحاكي الذي مركزه و نسبته 3
1) أعط الكتابة العقدية للتحاكي h
2) لتكن N صورة النقطة . لتكن E النقطة التي صورتها بالتحاكي h
حدد لحق كلا من N و E.
.......................................................................................................................................................................................
3) الدوران Rotation
ليكن r الدوران الذي مركزه و زاويته .لدينا : . لتكن M(z) و M’(z’) حيث ، لدينا :

تسمى الكتابة (أو الصيغة) العقدية للدوران r الذي مركزه و زاويته حيث:

حالة خاصة : (مركز الدوران هو أصل المعلم ):
الصيغة العقدية للدوران r الذي مركزه الذي مركزه O أصل المعلم و زاويته هي :
تمرين تطبيقي
المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم . ليكن r الدوران الذي مركزه و زاويته
1) أعط الكتابة العقدية للدوران r
2) لتكن N صورة النقطة . لتكن E النقطة التي صورتها للدوران r
حدد لحق كلا من N و E.